Paprastų, kintamųjų tranzitinių labirintų lygių sekos.

Pagrindinis faktas, leidžiantis matematiškai išanalizuoti paprastus, kintamus tranzitinius labirintus (angl. simple, alternating transit maze), yra toks: paprasto, kintamo tranzitinio labirinto topologiją visiškai lemia jo lygių seka. Kaip tai veikia, paaiškinta žemiau; tai reiškia, kad jei du s.a.t. (angl. simple, alternating transit) labirintai (tarkim, abu yra išskleistos formos) turi tą pačią lygių seką, tai vienas gali būti pakeistas taip, kad atitiktų kitą arba kito veidrodinį atvaizdą, tęstine, lygį išsaugančia deformacija.

Iš to matyti, kad visa topologinė paprastų kintamųjų tranzitinių labirintų klasifikacija leidžia nustatyti, kurios skaičių sekos gali figūruoti kaip lygių sekos. Yra trys būtinos sąlygos, kurių pakanka, kad skaičių kombinacija (permutacija) nuo 0 iki n būtų n gylio s.a.t. labirinto lygių seka.

1. Seka turi prasidėti nuo 0 ir baigtis n.

2. Nelyginiai ir lyginiai sveikieji skaičiai turi pakaitomis keistis sekoje.

3. Apsvarstykite lygių sekoje iš eilės einančių skaičių poras, kurios prasideda lyginiu skaičiumi; jos atitinka vertikalius, dešinėje labirinto pusėje esančius segmentus. (*) Jei du iš šių segmentų sutampa, vienas iš jų turi būti įterptas į kitą. Tas pats taikoma ir skaičių poroms, kurios prasideda nelyginiu skaičiumi; jos atitinka vertikalius, kairėje pusėje esančius kelio segmentus.

Pavyzdys: Konstantinopolio labirinto lygių sekoje segmentai (10,1) ir (2,11) sutampa, bet nė vienas nėra įterptas į kitą, todėl tai negali būti s.a.t labirinto lygių seka.

Tai įrodoma taip:

1 būtina sąlyga: akivaizdi.

2 būtina sąlyga: tarkime, kad du sluoksniai iš eilės yra sujungti vertikaliu segmentu dešinėje pusėje ir jie abu yra lygiaverčiai (turi tą patį paritetą); tarpas tarp jų turi turėti nelyginį lygių skaičių. Bet koks kelias, einantis per tą erdvę, turi prasidėti ir pasibaigti kairėje pusėje, todėl gali sunaudoti tik lyginį lygių skaičių. Prieštaravimas.

3 būtina sąlyga: pagalvokite apie išskleistą labirintą, kurio pradžia yra dešinėje. Kelias prasideda dešinėje pusėje nuo 0 lygio ir nukrenta iki nelyginio lygio. Tada jis pereina į kairę pusę ir pasiekia kitą sekos lygį, kuris bus lyginis, tada grįžta atgal į dešinę pusę ir t.t. Taigi, lygių sekoje iš eilės einančių skaičių poros, kurios prasideda lyginiu skaičiumi, atitinka vertikalius, dešinėje labirinto pusėje esančius segmentus, o prasidedančios nelyginiu skaičiumi – kairėje pusėje esančius segmentus. Dabar apsvarstykite bet kuriuos du vertikalius kelio segmentus dešinėje pusėje. Jei jie sutampa, vienas iš jų turi būti įterptas į kitą. Priešingu atveju jie abu negalėtų būti sujungti su kairėje pusėje esančiais horizontaliais segmentais, nes labirinto kelias negali turėti sankirtų; tas pats taikoma ir vertikaliems kelio segmentams kairėje pusėje.

Pakankamumas: tarkime, kad yra duota sveikųjų skaičių kombinacija nuo 0 iki n, atitinkanti 1, 2 ir 3 sąlygas. Štai kaip ją paversti labirintu. Ant popieriaus lapo su eilutėmis, pradedant nuo viršaus, sunumeruokite eilutes nuo 0 iki n. Kiekvienos iš eilės sekoje esančios sveikųjų skaičių poros, kuri prasideda lyginiu skaičiumi, atitinkamai sunumeruotas eilutes sujunkite su vertikaliu segmentu dešinėje puslapio pusėje. Jei du iš šių segmentų yra įterpti vienas į kitą, trumpesnį nubrėžkite į kairę nuo ilgesnio. Dabar padarykite tą patį su poromis, prasidedančiomis nelyginiu skaičiumi, išskyrus kairėje pusėje esančius vienas į kitą įterptus segmentus, tada trumpesnį brėžkite į dešinę nuo ilgesnio. Kiekvienoje iš eilučių, sunumeruotų 1,...,n-1, liks du laisvi figūros galai. Sujunkite juos pagal tą liniją; taip liks laisvas galas viršuje ir apačioje. Būsite nubrėžę išskleistos formos s.a.t. labirinto Ariadnės siūlą, atitinkantį tą lygių seką, nuo kurios pradėjote. Dabar yra paprasta nubrėžti patį labirintą. Be to, braižydami labirinto dalis šalia dešiniojo ir kairiojo puslapio kraštų ir sujungdami šių dviejų dalių išorines linijas, nubrėšite branduolį, iš kurio galima nubrėžti susuktą formą.

Straipsnis Originalo kalba: https://www.math.stonybrook.edu/~tony/mazes/levelseq.html